Математическое моделирование вероятности продолжения тренда

Мастер-класс: глазами науки

Тренд или тенденция временного ряда — это несколько условное понятие. Под трендом понимают закономерную, неслучайную составляющую временного ряда (обычно монотонную), которая может быть вычислена по вполне определенному однозначному правилу. Анализ тренда и определение длительности тренда
является одним из основных моментов в работе трейдера. Поэтому математическое моделирование вероятности существования и монотонности тренда, а также оценки его вероятной продолжительности является актуальной задачей [1,3].

Тренд временного ряда часто связан с действием физических законов или каких-либо других объективных закономерностей. Однако нельзя однозначно разделить случайный процесс или временной ряд на регулярную часть (тренд) и колебательную часть (остаток). Поэтому обычно предполагают, что тренд — это некоторая  функция простого вида (линейная, квадратичная и т.п.), описывающая «поведение в целом» ряда или процесса. Если выделение такого тренда упрощает исследование, то предположение о выбранной форме тренда считается допустимым.

Рис. 1. Тренд недельного графика доллар/рубль.

После выделения линейного тренда нужно выяснить, насколько он значим. Это делается с помощью анализа коэффициента корреляции. Дело в том, что отличие коэффициента корреляции от нуля и тем самым наличие реального тренда (положительного или отрицательного) может оказаться случайным, связанным со спецификой рассматриваемого отрезка временного ряда. Другими словами, при анализе другого набора экспериментальных данных (для того же временного ряда) может оказаться, что полученная при этом оценка намного ближе к нулю, чем исходная (и, возможно, даже имеет другой знак), и говорить о реальном тренде тут уже становится трудно.

Для проверки значимости тренда в математической статистике разработаны специальные методики. Одна из них основана на проверке с помощью распределения Стьюдента.

Рис. 2. Тренд недельного графика евро/доллар.

Кроме линейного тренда, приходится рассматривать и тренды более сложной структуры. При этом заранее указать функцию, с помощью которой можно описать этот тренд, обычно не представляется возможным. Поэтому часто на практике просто перебирают несколько простых функциональных зависимостей (с параметрами) и для каждой из них оценивают, насколько успешно функцией того или иного вида можно описать тенденцию рассматриваемого временного ряда. При наличии компьютера эти вычисления не занимают много времени, а иногда могут проводиться даже в автоматическом режиме, выделяющем среди нескольких заданных видов трендов оптимальный. Однако далеко не всегда среди рассмотренных функций имеется та, которая достаточно эффективно описывает тенденцию развития заданного временного ряда. В этом случае приходится идти другими путями. В частности, в такой ситуации производят различные преобразования членов временного ряда (логарифмирование, дифференцирование — образование разностей соседних членов ряда, интегрирование — суммирование последовательных членов ряда и др.) для того, чтобы попытаться получить временной ряд с ясно выраженным линейным трендом. Если это удается сделать, то к полученному ряду применяют те методы, которые были описаны выше, а потом обратным преобразованием возвращаются к исходному ряду. Нужно еще раз подчеркнуть, что вид тренда не определяется однозначно самим рядом и является некоторым условным объектом, привлекаемым для более полного понимания особенностей рассматриваемого процесса.

Сложно моделировать и автоматизировать оценку обнаружения тренда во временном ряде. Однако если тренд является монотонным (устойчиво возрастает или устойчиво убывает), то анализировать такой ряд обычно возможно. Если временные ряды содержат значительную ошибку, то первым шагом выделения тренда является сглаживание. Оно всегда включает некоторый способ локального усреднения данных, при котором несистематические компоненты взаимно погашают друг друга. Самый общий метод сглаживания — это скользящее среднее, в котором каждый член ряда заменяется простым или взвешенным средним n соседних членов, где n — ширина выборки. Вместо среднего можно использовать медиану значений, попавших в выборку. Основное преимущество медианного сглаживания, в сравнении со сглаживанием скользящим средним, состоит в том, что результаты становятся более устойчивыми к выбросам (имеющимся внутри выборки). Таким образом, если в данных имеются выбросы (связанные, например, с ошибками измерений), то сглаживание медианой обычно приводит к более гладким или, по крайней мере, более «надежным» кривым, по сравнению со скользящим средним с той же самой выборки. Основной недостаток медианного сглаживания в том, что при отсутствии явных выбросов он приводит к более «зубчатым» кривым (чем сглаживание скользящим средним) и не позволяет использовать весовые коэффициенты.

Относительно реже, когда ошибка измерения очень большая, используется сглаживание методом наименьших квадратов, взвешенных относительно расстояния, или метод отрицательного экспоненциально взвешенного сглаживания. Все эти методы отфильтровывают шум и преобразуют данные в относительно гладкую кривую. Ряды с относительно небольшим количеством наблюдений и систематическим расположением точек могут быть сглажены с помощью сплайнов. Однако многие монотонные временные ряды можно хорошо приблизить линейной функцией. Если же имеется явная монотонная нелинейная компонента, то данные вначале следует преобразовать, чтобы устранить нелинейность. Обычно для этого используют логарифмическое, экспоненциальное или (менее часто) полиномиальное преобразование данных.

Всеобщее поверхностное знакомство с предметом экономической теории порождает презрение к специальному знанию о нем — суждение нобелевского лауреата М. Фридмена [2].  С практической точки зрения, всякий раз, когда на основе ожидания продолжения чего-то прежнего прогнозируется будущее течение событий (цепь неприятностей или успехов, тенденция положения к ухудшению или улучшению и т.д.), — это, по существу, в той или иной форме и мере и есть ставка на закон инерции. Неудивительно, что он давно уже обнаружен в движении биржевых цен. Здесь любое развитие событий можно представить, как произвольную комбинацию двух состояний — инерции покоя или инерции движения, которое когда-то возникло под воздействи­ем определенного импульса любой природы: макроэкономика, психология, воля случая и т.д., а теперь, выйдя из периода покоя, продолжается. В 60-х годах XX века появился целый ряд научных работ, в которых при­водилось математическое обоснование существования тенденции, с широтой хождения термина «инерционность экономи­ки», понимаемого в смысле невозможности для всего механизма хозяйство­вания резко развернуться на другой курс. Проанализировав модель поведения участников рынка, можно сделать вывод о том, что рынок не может сразу сменить свои настроения с бычьих на медвежьи и наоборот, откуда и следует такое понятие как «инерция рынка». Огромная масса рынка не позволяет им быстро маневрировать, и любые маневры должны быть начаты заблаговременно, иначе они просто не получатся на рынке FOREX.  Постоянно выполняя «повороты»,  рынок может двигаться куда угодно, однако это движение может быть спрогнозировано благодаря «инерции рынка». Куда конкретно движется рынок в данный момент, предсказать может быть довольно сложно. Задача становится проще, если предположить, что на рынке имеется тренд. Тогда с определенной долей точности можно понять, где вероятно окажется валютный курс в следующий момент времени. Резкий маневр в данном случае возможен, но для его реализации нужна огромная сила. Этим также можно объяснить инерцию, присущую рынку FOREX.

Метод прогнозирования FOREX SSA

Одним из мощных методов анализа временных рядов является метод, называемый SSA — Singular Spectrum Analysis. Данный метод используется для анализа и прогнозирования временных рядов как фильтр. Кратко опишем принцип работы данного метода.

Для анализа временного ряда выбирается параметр L — назовем его «длина окна». Параметр L может выбираться  произвольно. При достаточно большой длине ряда и достаточно большом значении L результаты не будут зависеть от длины окна [4, 5]. Метод SSA-«Гусеница» может решать различные задачи, такие как, например, выделение тренда, обнаружение периодик, сглаживание ряда, построение полного разложения ряда в сумму тренда, периодик и шума. Плата за такой широкий спектр возможностей при достаточно слабых предположениях является, во-первых, существенно неавтоматическая группировка компонент сингулярного разложения траекторной матрицы ряда для получения составляющих исходного ряда. Во-вторых, отсутствие модели не позволяет проверить гипотезы о наличии в ряде той или иной составляющей (этот недостаток объективно присущ всем непараметрическим методам). Например, исследование валютной пары линейными методами выявило наличие нестационарности в характере поведения временного ряда, в результате чего был сделан вывод о невозможности создания качественной прогнозной модели на основе параметрических методов. Попытка построить прогнозную модель на основе непараметрического подхода («Гусеница»-SSA) дала более обнадеживающие результаты. Полученный на основе построенной модели временной ряд верно указывал основное направление движения ряда. В то же время построенная модель не могла прогнозировать колебания ряда в пределах основной тенденции. Для улучшения качества прогноза была предпринята попытка отойти от теоретических рекомендаций по созданию модели и попробовать установить параметры, исходя из интуитивных соображений. Однако данный результат не привел к желаемому. В итоге был сделан вывод об оптимальности построенной в соответствии с теоретическими рекомендациями модели и соответствующем ей пределе точности прогноза.

Поэтому, представление тренда фундаментального индикатора в виде символьной цепочки из нечетких переменных является новым элементом, упрощающим формальное описание характерных признаков тренда и их дальнейшую обработку. Например, с применением структурных методов распознавания образов, успешно зарекомендовавших себя в автоматическом распознавании образов в технической диагностике для решения  задачи оценки взаимодействия процессов макроэкономической динамики и валютных курсов, связанных с множеством фундаментальных индикаторов FI(x_i), x_i ∈X. Получение таких оценок дает возможность выделить для последующего анализа в исследуемой совокупности причинно-следственных связей лишь те отношения фундаментальных индикаторов FI(x_i), x_i∈X, где имеет место реальное влияние одного фундаментального индикатора на тренд другого, что приводит к сжатию концептуальной схемы рассматриваемой макросистемы.

При этом, с учетом того, что участники рынка для оценки влияния одного фундаментального индикатора на тренд другого широко используют оценку сходства трендов данных индикаторов [6, 7], для ее получения при количественной форме задания трендов фундаментальных индикаторов целесообразно использовать применяемую в теории распознавания образов процедуру вычисления евклидова расстояния между данными трендами.

При качественной форме задания трендов фундаментальных индикаторов в виде символьной цепочки из нечетких переменных для решения данной задачи следует использовать методы лингвистического и синтаксического анализа экспериментальных кривых. Суть данного вида анализа заключается в том, что для исследуемого типа экспериментальных кривых создаются словарь символов, задающих возможные состояния трендов, и грамматика, позволяющая строить из символов словаря конструкции — описания экспериментальных кривых. Построение для символьных цепочек трендов фундаментальных индикаторов деревьев грамматического разбора с использованием той или иной формальной грамматики позволяет предложить для распознавания влияния одного фундаментального индикатора на тренд другого выполнять процедуру оценки сходства деревьев грамматического разбора. Такой подход является достаточно простым, новым и хорошо формализуемым. При этом здесь следует учитывать, что меры сходства и различия структуры сложных систем строятся по специальным правилам.

Литература