Mathematical modeling of TA trend indicator systems

Современные реальные экономические системы обладают высоким уровнем неопределенности из-за сложности внутренних взаимосвязей и воздействия большого числа факторов, предусмотреть и учесть влияние которых не всегда возможно. При этом системы меняются случайным образом, с изменением структуры элементов, что определяет новое состояние системы. Это порождает нестабильное и нестационарное развитие всех её процессов. Указанные проблемы не позволяют детально описать процессы с помощью традиционных подходов, в частности математического описания в виде систем дифференциальных уравнений. Поэтому для решения задач валютного дилинга должны использоваться методы, базирующиеся на основе методов математического моделирования, теории нейронных сетей и динамического программирования, теории автоматического управления, теории вероятностей и математической статистики, а также методики прогнозирования движения нестационарных процессов в сложных реальных системах [1,2].  Кроме того существует необходимость применения системного подхода к решению задач прогнозирования нестационарных процессов в сложных системах. Свойство нестационарности в сложных системах проявляется в двух аспектах: в  возникновении трендов, характеризующихся фундаментальными зависимостями в системе; и в появлении некоторых скачков, источниками которых являются случайные по времени события и шоковые воздействия отдельных факторов. На рисунке 1 приведен пример интегральных макроэкономических процессов, протекающих на валютном рынке, характеризующих изменения валютного курса EUR/USD, данные получены с помощью терминала MetaTrader.

Можно описывать процесс (см. рис. 1) как объект, состоящий из элементарных компонентов, соответствующих различным источникам, характеризующихся группами движений, определяющихся трендовыми, гармоническими и случайными составляющими. Данное описание структуры процесса ориентирует исследование на раскрытие целостности внутренних механизмов функционирования, выявление многообразных типов связей сложного объекта. Это обстоятельство позволяет повысить эффективность прогнозирования, так как выделяемые составляющие движения имеют предсказуемый характер и более простое математическое описание, которое схематично можно представить в виде: суммы простейших трендовых составляющих, соответствующих основным факторам движения сложной системы;  суммы элементарных гармонических составляющих движения, определяющих совокупностью различных периодических факторов; и случайной составляющей, образованной совокупностью различных случайных факторов. На основании определенных особенностей применения системного подхода, одним из требований к методам является способность их к разложению исследуемого объекта на отдельные структурные составляющие и возможность обратного синтеза по отдельным элементам полученной структуры для решения задачи прогнозирования. Рассмотрим математическую модель системы  трендовых индикаторов — Moving averages, Moving AverageConvergence/Divergence (MACD) и Индекс относительной силы RSI.

Moving averages — один из самых старых, простых и наиболее полезных инструментов трейдера. На графиках цен они изображаются в виде линии, каждая точка которой соответствует самому последнему среднему значению цен. Скользящие средние помогают выявлять тренды и находить наилучшие моменты для открытия позиций. Простые скользящие средние рассчитываются как среднее значение цены за последние N дней. Наиболее часто усреднению подвергаются цены закрытия бара, но можно усреднять и другие цены: открытия, максимальные, минимальные, средние значения бара. Полученное значение откладывается в виде точки на графике, которая по времени соответствует бару, на котором производился расчет. В программах технического анализа все эти точки соединяются, поэтому скользящие средние представляются в виде линий (см. рис.1).

Рис. 1. Изменения валютного курса EUR/USD на месячном интервале

Анализ скользящих средних значений можно проводить следующим образом: если сравнить текущую цену со значением скользящего среднего, то можно сделать некоторые выводы. Если текущая цена выше линии скользящего среднего, то тренд – восходящий, если – ниже, то тренд – нисходящий. Определение направления текущего тренда подобным образом может выдать множество ложных сигналов. Во время боковых движений цена часто пересекает линию скользящего среднего вверх и вниз, но это не приводит к установлению устойчивого направленного тренда. Выходом из сложившейся ситуации может стать применение в анализе двух скользящих средних с разными периодами усреднения. Линию скользящего среднего с относительно меньшим периодом усреднения будем называть быстрой скользящей средней, а линию с большим периодом усреднения – медленной скользящей средней. Классический подход к анализу на основе двух скользящих средних заключается в следующем: если линия быстрого скользящего среднего пересекает линию медленного скользящего среднего снизу вверх, то тренд – восходящий; если линия быстрого скользящего среднего пересекает линию медленного скользящего среднего сверху вниз, то тренд – нисходящий. Если для дневного графика цены мы выберем периоды усреднения для скользящих средних 5 и 21, то быстрой скользящей средней будет считаться средняя с периодом 5 и она будет отражать среднюю цену за последнюю неделю (пять рабочих дней на ценовом графике), а медленной будет средняя с периодом усреднения 21 – среднее значение цены за последний месяц (в среднем, 21 рабочий день в месяце). Теперь сравним значения этих двух скользящих средних. Если быстрая скользящая средняя выше, чем медленная, то это означает, что в среднем цена за последнюю неделю выше, чем в среднем за последний месяц. Это означает, что текущий тренд восходящий и следует ожидать продолжения повышения цены. Если быстрая скользящая средняя ниже, чем медленная, то вывод будет противоположен: в среднем цена за последнюю неделю, ниже, чем в среднем за последний месяц, что указывает на нисходящий тренд. Сигналами для открытия и закрытия позиций будут являться пересечения скользящих средних между собой.

Периоды усреднения для скользящих средних лучше привязывать к естественным циклам. Например, для вычисления значений скользящего среднего за последнюю неделю (на дневном графике) нужно задать период усреднения, равный пяти. Аналогично, среднее значение цены за последний месяц определяется при помощи скользящего среднего с периодом усреднения 20 – 22 (количество рабочих дней в месяце). Среднее значение цены за последний квартал определяется при помощи скользящего среднего с периодом усреднения 65 (количество рабочих дней в квартале). Среднее значение цены за последний год определяется при помощи скользящего среднего с периодом усреднения 250 (примерное количество рабочих дней в году). На недельных графиках можно использовать период 4 (количество недель в одном месяце) или 52 (количество недель в году). Привязка периодов усреднения к естественным циклам не является обязательной. Каждый трейдер вправе сам выбирать эти периоды, в зависимости от преследуемых целей.

Moving AverageConvergence/Divergence (MACD) – это разность между 12- и 26-дневным скользящими средними цены и представляет собой индикатор схождение/расхождение скользящих средних. Линия индикатора, полученного таким путем, будет колебаться около нулевого уровня. Причем, нулевые значения индикатор MACD будет принимать в местах пересечения скользящих средних, т.к. значения этих средних будут равны (см. рис. 1). Если 12-дневное скользящее среднее выше 26-дневного, то MACD будет выше 0, если ниже – то и MACD будет ниже 0. При анализе двух скользящих средних с разными периодами усреднения, более быстрое скользящее среднее будет отражать более свежие ожидания рынка, в отличие от медленного скользящего среднего. А значит, если MACD выше 0, то это – сигнал к началу бычьего тренда. Если MACD ниже 0, то у рынка медвежьи настроения и следует ожидать снижения цены. Для предвосхищения схождения двух скользящих средних (т.е. движение MACD к нулевой линии)  применяют 9-периодное сглаживание значений MACD. Полученная таким образом линия называется сигнальной. При помощи сигнальной линии MACD можно получить более ранние сигналы изменения настроений участников торгов. Если MACD пересекает свою сигнальную линию снизу вверх, то это – сигнал к покупке, если MACD пересекает свою сигнальную линию сверху вниз, то это – сигнал к продаже. При боковых движениях цены MACD может выдавать ложные сигналы.

Скользящие средние и МАСD — это примеры «запаздывающих» индикаторов, следующих за тенденцией. Они просто сообщают о направлении движения рынка и не предупреждают о предстоящих изменениях цен. Такие индикаторы хорошо работают при относительно длительных ценовых тенденциях. Покупая и продавая по сигналам MACD или скользящих средних, не удастся получить сигнал для более раннего входа в рынок. Но эти индикаторы позволяют значительно сократить степень риска, открывая позиции в направлении господствующей тенденции.

Помимо «запаздывающих» существует еще один тип индикаторов — «опережающие» индикаторы. При помощи таких индикаторов можно попытаться спрогнозировать предстоящее изменение цены. Такие индикаторы лучше применять на спокойном рынке, в период преобладания боковой тенденции. Обычно опережающие индикаторы служат для измерения степени «перекупленности» или «перепроданности» рынка. Считается, что состояние перепроданности является сигналом предстоящего повышения цен, а состояние перекупленности – повышает вероятность снижения цены. К опережающим индикаторам относится Индекс относительной силы RSI.

Индекс относительной силы RSI (Relative Strength Index) ввел Уоллес Уайлдер в статье, опубликованной в журнале Commodities (ныне Futures) в 1978 году. Подробное описание и интерпретацию RSI можно найти также в его книге «Новые концепции технических торговых систем» (New Concepts in Technical Trading Systems). У. Уайлдер рекомендовал использовать RSI, рассчитанный за 14-дневный период. Кроме этого периода, популярными считаются 9 и 25-дневные. В основу расчета значений индекса относительной силы заложен принцип соотношения среднего значения положительных приращений цены закрытия, относительно цены закрытия предыдущего бара, к общей сумме приращений. На участке в 14 дней рассчитывается среднее значение всех положительных приращений, затем – среднее значение всех отрицательных приращений. Соотношение среднего значения положительных приращений к сумме средних значений положительных и отрицательных приращений и есть индекс относительной силы. Полученные таким образом значения индекса умножаются на 100, поэтому RSI колеблется в диапазоне от 0 до 100. Чем меньше период индикатора, тем более чувствительным к ценовым изменениям он будет. Индикатор RSI показан на рисунке 1. Для RSI indicator задаются уровни перекупленности и перепроданности. Зона перекупленности лежит выше уровня 70, а зона перепроданности – ниже уровня 30. Если RSI разворачивается в зоне перекупленности, то велика вероятность последующего снижения цены. Если RSI достигает зоны перепроданности, то велика вероятность повышения цены.

Иногда развороты RSI на вершинах и в основаниях формируются раньше, чем развороты цены. Это дает возможность открывать торговые позиции с наименьшим риском. Кроме анализа индикатора в зонах перекупленности и перепроданности, можно применять к нему приемы классического графического анализа. Часто на графиках RSI фигуры графического анализа образуются раньше, чем на ценовом графике. Линии и уровни поддержки/сопротивления можно строить и анализировать прямо на графике RSI.

Одним из наиболее значимых сигналов, подаваемых RSI, являются расхождения (дивергенции). Если цена достигает нового максимума, а на графике RSI нового максимума нет, то налицо дивергенция – расхождение в показаниях цены и индикатора. Такой сигнал более значим, если первая вершина индикатора в зоне перекупленности (выше уровня 70), а вторая вершина – вне этой зоны. Аналогичная ситуация может возникнуть и в зоне перепроданности. Если цена достигает нового минимума, а на графике RSI нового минимума нет, то налицо дивергенция – сигнал для покупки. Поэтому индикатор RSI лучше использовать в системах принятия решений с другими трендовыми индикаторами.

Literature
1. Morozov I.V., Fatkhullin R.R. FOREX: from simple to complex. M.: Omega-L, 2006.-536 pp.
2. Sobolev V.V. Currency dealing on financial markets / Yuzh.-Ros. gos. tehn. un. (NPI). - Novocherkassk, 2009. - 442 с.